(eng): We study the discretized problem of the shape optimization of three-dimensional elastic bodies in unilateral contact. The aim is to extend existing results to the case of contact problems obeying the Coulomb friction law. Mathematical modeling of the Coulomb friction problem leads to an implicit variational inequality. It is shown that for small coefficients of friction the discretized problem with Coulomb friction has a unique solution and that this solution is Lipschitzian as a function of a control variable describing the shape of the elastic body. The two-dimensional case of this problem was studied by the authors in SIAM J. Optim.; there we used the so-called implicit programming approach combined with the generalized differential calculus of Clarke. The extension of this technique to the three-dimensional situation is by no means straightforward. The main source of difficulties is the nonpolyhedral character of the second-order (Lorentz) cone, arising in the 3D model.

(cze): Studovali jsme diskretizovaný problém tvarové optimalizace třídimenzionálních pružných těles v jednostranném kontaktu. Cílem je rozšířit stávající výsledky v případě problémů Coulombovským kontaktem. Matematické modelování v Coulombovském tření vede k implicitním variačním nerovnostem. Je prokázáno, že pro malé koeficienty tření má problém s Coulombovským třením jednoznačné řešení, a že toto řešení je lipschitzovské jako funkce kontrolní proměnné popisující tvar pružného tělesa. Dvoudimenzionální případ tohoto problému byla studován autory v SIAM J. Optim., tam jsme použili takzvané implicitní programování kombinované s generalizovaným diferenciálním počtem Clarkeho. Rozšíření této techniky na třídimenzionálním situace není vůbec jednoduché. Hlavním zdrojem obtíží je nonpolyhedrální charakter Lorentzova kužele, který vznikne v 3D modelu.